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欧拉-麦克劳林级数的推导

因为很有趣就记下来了。

首先有泰勒级数:

令 $x_0\leftarrow x,x\leftarrow x+1$ 得

我们定义移位算子 $\text{E}$ 为

而微分算子 $\text{D}$ 我们都很熟悉,就不介绍了。

上面的式子可以写为

而我们知道差分算子 $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$,显然它是 $\text{E}-\mathbf{1}=e^{D}-\mathbf{1}$。

那么我们还知道前缀和是差分的逆运算,设求和算子 $\Sigma$ 为

那么有

其中 $B_n$ 是伯努利数。

于是我们得到

形式幂级数,永远滴神,连算子都能往里代(

具体把上面的式子作用到函数 $f$ 上就是欧拉-麦克劳林级数

后记

关于 欧拉-麦克劳林公式(也就是欧拉-麦克劳林级数加上用来估计误差的余项)的资料可以在这里查看。