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记 $\begin{array}{c}F({\lambda }_1,...)=\{\begin{array}{ll}\mathtt{\text{该形状对应的标准杨表数}}& ({\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots )\\ 0& \text{otherwise}\end{array}\end{array}$$F(\lambda_1,...)=\begin{cases}\texttt{该形状对应的标准杨表数}&(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\ldots)\\0&\text{otherwise}\end{cases}$。

考虑元素 $n$$n$ 所在的位置，它一定在某个角落，我们自然有

此后我们将其简记为

我们只需要证明，钩长公式亦满足这个递推，从而 $F$$F$ 一定就是钩长公式本身。

现在来考虑依托某杨图的一个随机过程：在 $n$$n$ 个格子里随机选一个，然后在该格子的钩子中随机选一个，……，直到当前格子已经是一个边角。设该随机过程终结于格子 $(\alpha ,\beta ={\lambda }_{\alpha })$$(\alpha,\beta=\lambda_{\alpha})$ 的概率为 $p(\alpha ,\beta )$$p(\alpha,\beta)$。

我们只需要证明一件事：

然后，由于显然 $\sum p(\alpha ,\beta )=1$$\sum p(\alpha,\beta)=1$，所欲证的结论就立即得出了。

固定 $\alpha ,\beta$$\alpha,\beta$。记 $p(A,B)$$p(A,B)$ 是该随机过程终结于格子 $(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta)$，且路径上所有经过的横坐标的集合为 $A$$A$，纵坐标的集合为 $B$$B$ 的概率。

讨论第一步是 $A_1\to A_2$$A_1\rightarrow A_2$ 还是 $B_1\to B_2$$B_1\rightarrow B_2$ 可以得到一个归纳，由归纳易得：

然后显然有

即得证。