线性代数学习笔记（搬运）

非常重要的数学基础知识。

参考教材：《代数学引论》柯斯特利金。

基础知识

线性组合

$X_i$ $X=\sum a_iX_i$ $a_i$ 的线性组合。

我们把一组给定向量的所有线性组合构成的集合称为这组向量张成线性包 $\left<X_i\right>$ 。它对于数乘和加法封闭。

$S$ 线性包 $\left<S\right>$ $S$ 中任取有限个元素的线性组合构成的集合。

一个线性包的线性包是它本身。

线性相关

$a_i$ 使得

\sum a_iX_i=0

$X_i$ 线性相关，上式为不平凡的。

一些显然的性质：

$X$ 至少有一个 $X_i$ 是其他向量的线性组合。

$(1,0),(2,0),(0,1)$ ）

$X_i$ $X$ 线性相关。
$X$ $X$ 也线性相关。
$X$ $X$ 的任何一部分也线性无关。
$X_1,X_2,...,X_n$ $X_1,X_2,...,X_n,X_{n+1}$ $X_{n+1}$ $X_1,X_2,...,X_n$ 的线性组合。
$X_1,X_2,...,X_n$ $X_{n+1}$ $X_1,X_2,...,X_n,X_{n+1}$ 也线性无关。

基，维数

$V$ 非零 $X_i$ $\left<X_i\right>=V$ $X_i$ $V$ 的一个基。

$V$ $X$ $X=\sum a_iX_i$ $a_i$ 称为它相对于该基的坐标。

$(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)$ 的向量并非坐标恰好很特殊，而是它们定义了坐标。）

（下面我们可能会混淆一个向量和它的坐标，但请记住坐标总是也和基有关。否则学习基变换的时候可能会遇到一些困难。）

$n$ $X_i$ $m$ $Y_i$ $V$ $m\le n$ 。

$n$ $n_1\ge n_2,n_2\ge n_1$ $n$ $V$ 维数 $\dim_{\mathbb R} V$ $\dim V$ $X$ 秩 $\text{rank}\ X$ 。

秩 $\text{rank}\ A=\text{rank}\ (A^T)$ $^T$ 表示转置，即交换某矩阵的行和列），这组向量的秩。

线性变换

线性映射的定义

$n$ $m$ $A$ $m$ $X$ $n$ $Y$ $A$ 线性映射 $n=m$ 称其为线性变换。

$A$ $(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)$ $A^{(1)},A^{(2)},...,A^{(n)}$ $A^{(i)}$ $A$ $i$ 列），空间的其他部分也被光滑地映射。旋转，剪切，拉伸等都是线性变换。

（此处灵魂画手了，原来的网格映射后还是平行的。）

$(G\cdot F)(x)=G(F(x))$ 。一些关于乘积的结论：

$(XY)^T=Y^TX^T$

$\text{rank} (XY)\le \min(\text{rank}\ X,\text{rank}\ Y)$

线性变换环

$n$ 相等的所有线性变换构成一个环。

乘法逆元 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ 。注意这不表明矩阵乘法有交换律。

可以证明，某个线性变换有乘法逆元等价于它满秩。下面也称不满秩/无乘法逆元为退化。关于退化有如下结论：

$A$ 不退化那么它的转置也不退化。
$B$ $\text{rank}(AB)=\text{rank}(BA)=\text{rank}\ A$ 。
$A_i$ $(A_1A_2...A_n)^{-1}=A_n^{-1}A_{n-1}^{-1}...A_1^{-1}$ 。

$A$ 的解空间零空间 $AX=0$ $X$ $V_A$ 。

$\dim V_A+\text{rank}\ A=n$ 。

行列式

$A$ $\det A$ $A$ ，它的像的“有向”体积。

$n=2$ $(x,y),x,y\in[0,1]$ $A$ $\det A$ 的绝对值；而如果在映射过程中单位立方体“翻转”了，那么就要加一个负号。例如

$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

$y=x$ $-1$ 。

$n=3$ ，一个立方体有没有被翻转取决于左手定则，不展开讲了。

行列式的形式化定义如下。

\det A=\sum_{\sigma}\varepsilon_{\sigma}\prod_ia_{i,\sigma(i)}

$\sigma$ $1,2,...,n$ $\varepsilon_{\sigma}$ $(-1)^k$ $k$ $\sigma$ 对换 $\sigma$ 拆成对换swap $k$ 个对换。也等价于逆序对数。

关于行列式有以下结论：

$\det A=\det (A^T)$
$A$ 的任意两行，行列式变号。（斜对称性）
$A$ $n$ 个行向量/列向量的函数。对于任意一个行向量/列向量它都是线性的。（多重线性性）具体来说：

\det(A_1,A_2,...,\lambda A_i,...,A_n)=\lambda\det(A_1,A_2,...,A_i,...,A_n)

\det(A_1,A_2,..., A_i+A'_i,...,A_n)=\det(A_1,A_2,...,A_i,...,A_n)+\det(A_1,A_2,...,A'_i,...,A_n)

$A_i$ $\det A=0$ $\det A=0$ 。（从现实意义上可以很容易看出，一个被“拍扁”的立方体体积显然是 0）
$A_u=A_u+\lambda A_v$ $A'$ $A$ 行/列初等变换 $\det A'=\det A$ $\det A'$ $\det A+\lambda \det B$ $B_u=B_v$ $\det B=0$ 。）
$A$ $O(n^3)$ 计算行列式的方法。）
$\det AB=\det A\det B$ 。

$\det I=1$ （规范性）唯一地确定了行列式这个函数。

行列式的应用

一个矩阵不退化等价于其行列式不为 0。
（Cramer 法则）线性方程组

AX=B

$A^{(i)}$ $A$ $i$ 列）

x_k=\dfrac{\left|A^{(1)},,...,A^{(k-1)},B,A^{(k+1)},...,A^{(n)}\right|}{\left|A^{(1)},,...,A^{(k-1)},A^{(k)},A^{(k+1)},...,A^{(n)}\right|}

特征值，特征向量，可对角化，零化

很草的是这本教材里并没有讲这些内容，接下来几章和多项式环有关，讲回线代就是第二卷的事情了，讲的是抽象向量空间而且还是没讲特征值相关的东西……

所以我只好去看了3b1b的这期视频，再加一点自己的理解写了这一节。

特征值，特征向量，特征多项式

$A$ 非零 $v$ $A$ $v$ $v$ $v$ $A$ 的特征向量。

$Av=\lambda v$ $\lambda$ 即为特征值。

做一些推导：

Av=\lambda Iv

(A-\lambda I)v=0

$v$ $A-\lambda I$ $A-\lambda I$ $v$ ，于是上式等价于

\det(A-\lambda I)=0

$\lambda$ $F(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ 称为特征多项式。

对角化

对角矩阵 $(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)$ ，它的幂也非常容易计算。所以对角矩阵非常具有研究价值。

基变换 $(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)$ $E^{(1)},E^{(2)},...,E^{(n)}$ $A$ 该如何重新表示。

$v$ 会表示为：

E^{-1}v

$A$ $E^{(i)}$ $AE^{(i)}$ $E^{-1}E^{(i)}=(0,...,1,...,0)$ $i$ $E^{-1}AE^{(i)}$ $A$ 应当表示为：

E^{-1}AE

$A$ $A$ 一定会被表示为一个对角矩阵，而且对角线上的元素就是特征值，这就是对角化。

$n$ 个互不线性相关的特征向量。在 OI 中一般直接手解即可。

零化和 Cayley-Hamilton 定理

$P(x)$ $P(A)$ $P$ 零化 $A$ 。

Cayley-Hamilton 定理：一个矩阵的特征多项式零化它。这也就是常系数齐次线性递推的原理。

后记

完结撒花~