参考资料：

[1] A Multivariate Lagrange Inversion Formula for Asymptotic Calculations

[2] Multivariable Lagrange Inversion, Gessel-Viennot Cancellation, and the Matrix Tree Theorem

[3] A Bijetive Proof for the Arboresent Form of the Multivariable Lagrange Inversion Formula

[4] Determinants, Paths, and Plane Partitions

[5] Two bijective proofs for the arborescent form of the Good–Lagrange formula and some applications to colored rooted trees and cacti

（↑ [5] 说的 cactus 其实指的是 constellation，不是 OI 里的仙人掌）

[6] 生成函数的一丶进展（WC2021 营员交流）

其实就是把论文翻译了一遍（

0 目录

• 1 矩阵树定理的组合解释

• 2 多元拉格朗日反演

• • 2.0 多元拉反的组合解释

  • • 2.0.1 基础定义
    • 2.0.2 具体解释

• • 2.1 内向树形式

  • 2.2 多元拉反的双射证明

  • • 2.2.1 基础定义
    • 2.2.2 函数图的子结构
    • 2.2.3 树形子结构双射定理
    • 2.2.4 结局

  • 2.3 主子式扩展

  • 2.4 主子式扩展的组合解释

  • • 2.4.1 右式的处理
    • 2.4.2 左式的处理

1 矩阵树定理的组合解释

考虑某矩阵 $(a_{i,j})$ 的行列式，它是

其中 $p$ 是任意置换，$w(p)=\prod_{i} a_{i,p_i}$。我们考虑它的循环分解 $p=\cup\{q\}$，其中 $q$ 都是循环

可以看到其中的 sigma 枚举了所有并为 $[1..n]$ 的无序列表 $\{q_i\}$。

在基尔霍夫矩阵中，它的行为是这样的：$w$ 不为 $0$ 的 $q$ 要么是单点，权值为该点的度数，要么体现为原图中的一个环，权值为 $(-1)^{|q|}$。而我们知道对于循环 $q$，$\text{sgn}(q) =(-1)^{|q|-1}$，从而有

我们默认去掉的是第一行和第一列。这个东西可以这么解释：

• 首先，为每个 $2..n$ 的点随机选一个父亲，这解释了度数的出现；
• 这时显然会有环，那么我们把环给容斥掉即可，无环的情况就是生成树。这解释了系数 $-1$。

去掉第一行第一列正代表了选取一个根。这也解释了为什么如果不去掉第一行第一列，基尔霍夫矩阵的行列式为 $0$，因为这时不论怎么选总存在一个环。

2 多元拉格朗日反演

下面把 $m$ 维向量 $(x_1,x_2,...,x_m)$ 记为 $\mathbf x$。原谅作者为使得公式整洁对它的滥用，相信读者可以自行推断出符号的具体含义。

现有一列 $m$ 个 $m$ 元形式幂级数 $f_1(\mathbf x),f_2(\mathbf x),...,f_m(\mathbf x)$，它们满足下面的方程组

那么我们有

多元拉格朗日反演.

$$\boxed{[\mathbf t^{\mathbf n}]h(\mathbf f(\mathbf t))=[\mathbf x^{\mathbf n}]h(\mathbf x)\cdot\prod\mathbf g^{\mathbf n}(\mathbf x)\cdot\text{det}\left([i=j]-\dfrac{x_i}{g_j(\mathbf x)}\dfrac{\partial g_j(\mathbf x)}{\partial x_i}\right)}$$

其中：$\mathbf t^{\mathbf n}$ 表示 $(t_1^{n_1},t_2^{n_2},...)$，其余类似；行列式中的关于 $i,j$ 的式子表示矩阵在第 $i$ 行第 $j$ 列的值。

2.0 多元拉反的组合解释

2.0.1 基础定义

定义我们研究的点集：

• 令 $V(\mathbf n)=\{(i,j):1\le i\le m,1\le j\le n_i\}$，说人话就是有 $m$ 种颜色的点，第 $i$ 种颜色的有 $n_i$ 个。
• 记 $V_0(\mathbf n)=\{0\}\cup V(\mathbf n)$，称这个新加的 $0$ 节点的颜色为 $0$。
• 记 $(i,n_i)$ 为 $M_i$。只是一个代表元素，用于下面的构造。

下面定义函数图。

• 函数图是一种有向图，每个点有且仅有一条出边，这个图对应一个函数 $F$：边 $(a,b)$ 意味着 $F(a)=b$。
• 记 $\mathcal F_0(\mathbf n)$ 是从 $V(\mathbf n)$ 到 $V_0(\mathbf n)$ 的函数图构成的集合，也就是说这个函数的定义域为 $V(\mathbf n)$，到达域为 $V_0(\mathbf n)$。容易发现 $\mathcal F_0(\mathbf n)$ 中的函数是由一个包含 $0$ 的内向树和一些内向基环树构成的。
• 而 $\mathcal A_0(\mathbf n)$ 是其中的以 $0$ 为根的内向树（又出现了）的集合。

接下来定义权值。

• 对于某个 $D\in\mathcal F_0(\mathbf n)$，其中的节点 $v$ 的权值 $w_D(v)$ 定义如下：令 $j_l$ 为颜色为 $l$ 的，映射到 $v$ 的节点数量，则

• $$w_D(v)=\begin{cases}\left[\dfrac{\mathbf x^{\mathbf j}}{\prod\mathbf j!}\right]g_{i}&(v\neq 0)\\\left[\dfrac{\mathbf x^{\mathbf j}}{\prod\mathbf j!}\right]H&(v=0)\end{cases}$$

• 定义 $\Psi(D)=\prod w_D(v)$。

这时我们可以立即解释 $f_i$：考虑以某个颜色为 $i$ 的点为根的内向树集合的生成函数 $\hat f_i$ 满足

正是我们最开始提到的方程组，即 $\hat f=f$。从而有引理

引理 1.

$$h(\mathbf f(\mathbf t))\ 是\ \mathcal A_0\ 的权值和的指数生成函数。$$

2.0.2 具体解释

我们已经看到多元拉反的左式有直接的组合意义，下面我们来解释右式。$h(\mathbf x)\cdot\prod \mathbf g^{\mathbf n}(\mathbf x)$ 可看成是让每个节点先任意选择自己的儿子（如果你无法理解这点，可以看这里），诚然这样会有环的情况，接下来我们来说明后面的行列式其实是一个和矩阵树定理差不多的容斥。

考虑

它可以想象为在原来的 $g_j$ 中标记一条的 $j\rightarrow i$ 的边。那么参考矩阵树定理的解释，后面行列式的意义也就不言自明了。

2.1 内向树形式

当然也可以暴力展开行列式。中间过程不表，类似之前对矩阵树定理的证明，只有一个观察是 $[\mathbf x^{\mathbf n}]\dfrac{n_i}{x_i}=[\mathbf x^{\mathbf n}]\dfrac{\partial}{\partial x_i}$。这得到一个有趣的新形式：

多元拉格朗日反演（内向树形式）.

$$\boxed{[\mathbf t^{\mathbf n}]h(\mathbf f(\mathbf t))=\dfrac{1}{\prod\mathbf n}[\mathbf x^{\mathbf n - \mathbf 1}]\sum_{\mathcal T}\dfrac{\partial(h,\mathbf g^{\mathbf n})}{\partial \mathcal T}}$$

其中 $\mathcal T$ 是完全图 $[0..m]$ 的所有以 $0$ 为根的生成内向树，而

$$\dfrac{\partial \mathbf f}{\partial G}=\prod_{j=0}^m\left(\prod_{(i,j)\in G}\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)f_j$$

这里的符号可能引起一些歧义，说明一下：

• $\mathbf f(\mathbf t)$ 指的是 $(f_1(\mathbf t),f_2(\mathbf t),...)$。
• 但 $\mathbf g^{\mathbf n}$ 指的是 $(g_1^{n_1},g_2^{n_2},...)$。

我们给出对内向树形式的一个双射证明。

2.2 多元拉反的双射证明

2.2.1 基础定义

沿用之前的点集等定义。

2.2.2 函数图的子结构

接下来我们定义两种函数图的子结构。

• 对于某个 $T\in \mathcal A_0(\mathbf n)$，它的路图 $P(T)$ 是一个 $\mathcal F_0(\mathbf 1)$ 图，它如此构造：首先令已经处理的颜色序列为 $\sigma$。

• • 令 $\mu=\max([1..m]/\{\sigma_1 , ...,\sigma_j\}).$
  • 找出 $T$ 中的单向路径 $\rho$，它从 $M_\mu$ 延伸到第一个颜色为 $0$ 或其颜色已被处理的节点 $x.$
  • $\rho$ 上有边 $y\rightarrow x$，令离 $M_\mu$ 最近且与 $y$ 同色的节点为 $z$（它当然可以为 $(\mu,n_\mu)$ 自身）。
  • 令 $\sigma_j$ 为 $y$ 的颜色，令 $K_{\sigma_j}=x,F_{\sigma_j}=z$。令 $\pi_{\sigma_j}$ 为 $z$ 到 $y$ 的路径（含）。
  • 在 $P(T)$ 中连边 $\sigma_j\rightarrow \left(K_{\sigma_j} 的颜色\right)$。

• 这里给出一个例子。

• 记只保留 $\{0\}\cup\{\sigma_1,...,\sigma_j\}$ 的 $P(T)$ 为 $P^{(j)}(T)$。

• 一个 $\sigma_j$ 是 rlmax 的，如果 $\sigma_j=\max(\sigma_j,...,\sigma_m)$。

可见路图的性质是复杂的。我们下面给出它的一些有用的性质。

引理 2. 路图具有以下性质：

• 如果 $\sigma_j$ 是 rlmax 的，那么 $F_{\sigma_j}=M_{\sigma_j}$。否则 $F_{\sigma_j}=K_{\sigma_{j+1}}$。
• $P^{(j)}(T)$ 皆是以 $0$ 为根的内向树，且其最小叶子为 $\sigma_j$。
• $\pi_{\sigma_j}$ 中没有颜色为 $\{0\}\cup\{\sigma_1,...,\sigma_{j-1}\}$ 的节点。

证明不表，因为均可直接由构造过程得出。

• 对于某个 $D\in\mathcal F_0(\mathbf n)$，它的色图 $C(D)$ 是一个 $\mathcal F_0(\mathbf 1)$ 图。如果在 $D$ 中存在 $M_i\rightarrow(j,*)$ 则在其色图中连边 $i\rightarrow j$。

这两种子结构的意义在于，我们即将通过它们建立一个从某类内向树到某类函数图的双射。（你可能会注意到内向树是函数图的一个子集，但是对无限集来说，某集合是另一集合的子集并不妨碍它们之间可以双射）

先进行一些准备工作：研究一些被称为保权值的变换：变换前后两个图的权值相等。

• 首先我们可以交换两个相同颜色节点 $u,v$ 的父亲，称为 转换 (u,v)，这显然是保权值的。

• 先选定颜色为 $c$ 的两个节点 $u,v$，其中间有一条有向路径 $\pi$ 自 $u$ 到 $v$。下面这个变换称为 c - 剥皮：

• • 从 $v$ 倒回到 $D(u)$，检查出那些颜色为 $c$ 且比迄今为止遇到的所有颜色为 $c$ 的节点标号都大的节点，称为 $w_1,...,w_k$。构造新图 $D'$，其中
  • $D'(u)=D(v),D'(w_k)=D(u),D'(w_{k-1})=D(w_k),...,D'(v)=D(w_1)$
  • $D'$ 就是 $D$ 的 $c$ - 剥皮。

• 显然剥皮是保权值的。

现在我们终于可以给出下面这个定理。

2.2.3 树形子结构双射定理

定理 1.（树形子结构双射）

$$\sum_{A\in\mathcal A_0(\mathbf n),P(A)=T}\Psi(A)=\sum_{D\in\mathcal F_0(\mathbf n),C(D)=T}\Psi(D)$$

证明. 对于 $P(A)=T$ 的 $A$，对 $j=1...m$，施以下面的变换

• $(j_1)：$$\sigma_j$ - 剥下 $\pi_{\sigma_j}$；
• $(j_2)$：转换 $(M_{\sigma_j},F_{\sigma_j})$；

接下来我们只需要证明：最终得出的图 $D$ 满足 $C(D)=T$，而且这组变换是一个双射。

首先指出，第 $j$ 组变换只会影响颜色为 $j$ 的节点的函数值，又根据引理 2.3，故当第 $j$ 组变换被施行时，$\pi_{\sigma_j}$ 是“完好无损”的。

于是，当 $(j_1)$ 结束，我们有 $D(F_{\sigma_j})=K_{\sigma_j}$，也就是说 $(j_2)$ 结束时 $D(M_{\sigma_j})=K_{\sigma_j}$。从而，最终，$C(D)=T$。

接下来我们展示上面的变换的可逆性。

• 首先，我们的确可以恢复 $\sigma$，只需要重复使用引理 2.2。
• 通过 $D(M_{\sigma_j})=K_{\sigma_j}$ 和引理 2.1，我们可以恢复 $K$ 和 $F$。
• 显然 $(j_2)$ 是可逆的。
• 下面说明 $(j_1)$ 也是可逆的。我们找到图中环上有 $\sigma_j$ 但没有 $\{0\}\cup\{\sigma_1,...,\sigma_{j-1}\}$ 的那些基环树，环上面颜色为 $\sigma_j$ 中标号最大的元素就是原来的 $w$，逆也就显然了。

$\blacksquare$

2.2.4 结局

接下来，我们只需要证明

引理 3.

$$\sum_{D\in\mathcal F_0(\mathbf n),C(D)=T}\Psi(D)=\left[\dfrac{\mathbf x^{\mathbf n-\mathbf 1}}{\prod(\mathbf n-\mathbf 1)!}\right]\dfrac{\partial(h,\mathbf g^{\mathbf n})}{\partial T}$$

证明. 如果不管 $C(D)=T$ 的限制，那么儿子是可以任意选的，只要所有点恰好被作为一次儿子。那么答案即为

现在考虑 $C(D)=T$。此 $M_i$ 的父亲就被钦定为了某个颜色，那个颜色的生成函数中必须挖去一个 $i$ 的位置留给它，而且标号还必须是 $n_i$，这正是对 $i$ 求偏导。

$\blacksquare$

然后对每一个内向树 $T$ 求和即得到原定理（注意引理 2.2）。

2.3 主子式扩展

还有一个奇妙的扩展，也一并介绍好了。

主子式多元拉格朗日反演.

$$\boxed{\left[\dfrac{\mathbf t^{\mathbf n}}{\prod\mathbf n!}\right]h(\mathbf f(\mathbf t))\det\left(t_j\dfrac{\partial f_i}{\partial t_j}\right)_\alpha=\\ \qquad \left[\dfrac{\mathbf x^{\mathbf n}}{\prod\mathbf n!}\right]h(\mathbf x)\cdot\prod\mathbf g^{\mathbf n}(\mathbf x)\cdot\prod_{k\in\alpha}x_k\cdot\text{det}\left([i=j]-\dfrac{x_j}{g_i}\dfrac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{\overline\alpha}}$$

其中 $\det \alpha$ 表示仅留下原矩阵的 $\alpha$ 中的行列的子矩阵（主子式）的行列式。$\overline \alpha$ 表示 $\alpha$ 的补。

接下来，我们给出一个对这个主子式扩展的组合解释。

2.4 主子式扩展的组合解释

直接沿用对普通多元拉反的组合解释。在引理 3 之后，我们已经得到

我们的目的是，对规定的 $k$，对下面这样的 $T$ 求上式的和：$T$ 中存在边 $(k+1,0),...,(m,0)$，这样的 $T$ 的集合称为 $\mathcal J^{(k)}$。显然可以不失一般性地从 $\{k+1,...,m\}$ 扩展到任意集合 $\alpha$。

2.4.1 右式的处理

定理 2.

$$\sum_{D\in\mathcal F_0(\mathbf n),C(D)\in \mathcal J^{(k)}}\Psi(D)=\\ \left[\dfrac{\mathbf x^{\mathbf n}}{\prod\mathbf n!}\right]\prod_{i=k+1}^m\dfrac{x_i}{n_i}\cdot\left\{\left(\prod_{i=k+1}^m\dfrac{\partial}{\partial x_i}\right)H(\mathbf x)\right\}\cdot\prod\mathbf g^{\mathbf n}(\mathbf x)\cdot\text{det}\left([i=j]-\dfrac{x_j}{g_i}\dfrac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{[1...k]}$$

证明. 只需要对引理 3 运用矩阵树定理即可。还有别忘了 $[\mathbf x^{\mathbf n}]\dfrac{n_i}{x_i}=[\mathbf x^{\mathbf n}]\dfrac{\partial}{\partial x_i}$。

$\blacksquare$

2.4.2 左式的处理

接下来，我们介绍 Gessel - Viennot cancellation（可以参见参考资料 [4]，但不必要）。先对 $A\in\mathcal A_{0}(\mathbf n)$ 引入下面的记号。

• 对于 $j\in[1...m]$，找出 $M_j$ 到 $0$ 的路径，记 $0$ 之前的最后一个点为 $N_j$。记 $M_j$ 到 $N_j$ 的路径为 $\tau_j$。
• 令 $L_i(\tau_j)$ 是 $\tau_j$ 中离 $N_j$ 最近的，颜色为 $i$ 的节点。显然，它可能没有定义。

下面定义一种树集 $\mathcal G^{(k)}$，满足

• 对于 $i=k+1,...,m$，$\tau_i$ 两两不交
• 对于 $i=k+1,...,m$，记 $N_i(A)$ 的颜色为 $\kappa_i(A)$，$\kappa(A)$ 恰好构成 $[k+1...m]$ 的一个排列。

如果还满足下面的条件，则称其属于 $\mathcal R^{(k)}$；否则称其为 $\mathcal U^{(k)}$。

• 对于 $i=k+1,...,m$，$\tau_i$ 中不含颜色大于 $i$ 的节点。这意味着 $\kappa(A)$ 就是 $[k+1...m]$ 本身。

我们认识到，$\mathcal R^{(k)}$ 恰好等于 $A\in\mathcal A_0(\mathbf n),P(A)\in\mathcal J^{(k)}$ 的 $A$ 构成的集合。容易验证。

定理 3.

$$\sum_{A\in\mathcal A_0(\mathbf n),P(A)\in\mathcal J^{(k)}}\Psi(A)=\\ \left[\dfrac{\mathbf x^{\mathbf n}}{\prod\mathbf n!}\right]\prod_{i=k+1}^m\dfrac{1}{n_i}\cdot\left\{\left(\prod_{i=k+1}^m\dfrac{\partial}{\partial f_i}\right)H(\mathbf f)\right\}\cdot\text{det}\left(x_j\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{[k+1...m]}$$

证明.

首先，我们有

下面我们来证明

这其实是一个容斥（也就是所说的 Gessel - Viennot cancellation）。考虑这样一个定义在 $\mathcal U^{(k)}$ 上的映射 $\phi(U)$。

• 令 $\gamma$ 是使得 $\tau_j(U)$ 中存在一个节点颜色大于 $j$ 的最大的 $j$；
• 令 $\beta$ 是 $\tau_j(U)$ 中最大的颜色。
• 对 $U$ 施以转换 $(L_{\beta}(\tau_\beta),L_\beta(\tau_\gamma))$，其结果便是 $\phi(U)$。

可见的是 $\phi$ 保权值，$\phi(\phi(U))=U$，且 $U$ 和 $\phi(U)$ 的 $\text{sgn}(\kappa)$ 相反，从而 $U$ 和 $\phi(U)$ 的贡献抵消了。

综上，我们得到

现在只需要考虑对 $\kappa$，$A\in\mathcal G^{(k)},\kappa(A)=\kappa$ 的带符号权值和。容易得到它是

对 $\kappa$ 求和即得到一个行列式的形式，正是原定理。

$\blacksquare$

综合左式和右式的处理即得到原定理。